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基础知识：
Tensor的梯度与反向传播

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基础知识：

要想训练一个网络，对于梯度的理解是必不可少的，下面首先介绍梯度的一些基础概念。

0、方向余弦与向量单位化

方向余弦是一个在向量中很常见的概念，它用来标定某一个向量的方向，说起来可能会一头雾水，不过没关系，我们使用画图来理解一下。

举个例子，如下图有一个坐标系xoy，其效果如下所示：

其中包含了一个向量$\overrightarrow{l}$ ,向量的坐标为：$(a,b)$

那么上文中的向量就满足如下式子：

$$
(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}},\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}})
$$
上文的式子实际上就是对向量进行单位化，此时新产生的向量，实际上就是我们常说的方向向量。

方向向量实际上还可以再优化一下，我们看到图上还有两个标明的角分别是$\alpha和\beta$，这两者的关系就不再多说，他们呢一对互余的角度，满足的条件就是相加等于90度。

此时我们就可以将这个式子转化成这样的形式：

$$
\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} = \cos{\alpha}
$$
同理也有：

$$
\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} = \cos{\beta}
$$
这样方向的向量的表达式，就可以写为：

$$
(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}},\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}) =(\cos{\alpha},sin{\alpha})
$$
实际因为角度互余上可以化为：

$$
(cos{\alpha},cos{\beta})
$$

1、多元函数求偏导

一元函数，即有一个自变量。类似$f(x)$

多元函数，即有多个自变量。类似$f(x,y,z),三个自变量x,y,z$

多元函数求偏导过程中：对某一个自变量求导，其他自变量当做常量即可

例1：

例2：

例3：

练习：

已知$J(a,b,c) = 3(a+bc),令u=a+v,v = bc$,求a，b，c各自的偏导数。

2、方向导数：

简单地说方向导数形容的是满足某个关系下(Y=KX+B)，对于各个方向上本关系数值变化率（Y的变化率）的量化表达式。

数学推导，可参考如下文章。但是我读完以后还是没办法一下就理解，它实际上不应该是一个这么难理解的内容，我们反过来想一想，能不能从前面的基础构建出来方向导数到底是什么。

方向导数1 第一章

方向导数2

从二维、三维入手

在二维关系中Y=KX+B中我们不太好理解什么是方向导数，我们知道对于一个函数来说，$y=kx+b$的导数实际上是这样的：

对于函数的某一点，导数等于切线在该点的斜率，他是一个极限概念。我们不妨这样来理解这个极限的过程：

下图是某个函数，其中包含三个点如下所示：

其中A、B是函数上随机的两个点。其中A、B两点满足如下：
$$
A= (x_0,f(x_0))\
B= (x_0+\Delta x,f(x_0+\Delta))
$$
然后AB两点相连接，形成一个割线，割线的斜率满足如下条件：
$$
k_{AB} = \frac{f(x_0+\Delta x) - f(x_0)}{(x_0+\Delta x) - x_0} = \frac{f(x_0+\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}
$$

当有如下情况的时候，就会产生切线和导数：

当B无限趋近于A的时候，即$\Delta x$无限趋近于0的时候，割线AB就会转化为切线，如下所示：

满足的数学关系如下：
$$
k_{ab} = \varliminf_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}
$$
而我们知道切线的斜率就是导数的值，这是在二维的情况下。

三维的方向导数

在二维的情况我们已经很了解了，我们来推广到到三维的情况下来试一试，举个例子：

我们先来下一个定义：

一般情况下的三位函数的方向导数实际上是平面XOY上一点$(x,y)$在三维函数的值$f(x,y)$，和其所代表的一点$（x,y,f(x,y)）$以向量l的方向向量为切面构成的曲线上（点(x,y)）的一条切线的值。

说起来很抽象，我们举个例子就好理解一点了：

其中三维函数圆形抛物面大致如下：
$$
Z = x^2+y^2
$$
如图所示:

图看起来很很复杂不过没关系，我们依靠颜色来分辨一下：

红色包含两部分内容：分别是在xy平面的点$(x,y)$和切面构成的曲线。

橙色包含两部分内容：$\overrightarrow{l}$ 是 $XOY$ 平面（笛卡尔坐标系）上以 $P(X_0,Y_0)$为始点的一条射线,$e_l = ( \cos \alpha , \cos \beta)$ 是与 L 同方向的单位向量。同时还包含一个由其方向向量构建出来的平面A。

蓝色部分包含一个内容：就是函数Z。

我们来解析一下这分别什么意思

当存在一个点c从点(x,y)出发沿着方向向量变化$t$的时候，其坐标满足如下：
$$
C = (x+tcos{\alpha},y+tcos{\beta}) （其中角度和上文中的是一样意义）
$$
这时候c点实际上就是黑色虚线在l上的点。这时候这个在向量上的变化轨迹就是一段向量，他的方向和l向量的方向向量是一样的，并且在函数上映射了一段曲线，如红色部分曲线所示，我们针对这一种曲线来考虑一种特殊情况，当满足这个条件的时候，曲线会如何变化？

没错就是上文中二维的情况：

结果是一模一样的，只不过这里的切线是对应的在曲线上的切线，我们这里就引出方向导数的定义如下：
$$
\left. \frac{\partial f}{\partial l} \right|_ {\left(x_{0}, y_{0}\right)} = \lim_{t \rightarrow 0^{+}} \frac{f\left(x_{0} + t \cos \alpha, y_{0} + t \cos \beta \right) - f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{t}
$$

从方向导数的定义可知，方向导数：$ \left. \frac{\partial f}{\partial l}\right|_ {\left(x_{0}, y_{0}\right)} $就是函数 $ f(x, y) 在点 P_{0}(x_{0}, y_{0}) $处沿方向 ( l ) 的变化率。

定理：

如果函数$f(x, y)$ 在点$P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$可微分,那么函数在该点沿任一方向的方向导数存在,且有 :
$$
\left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_ {\left(x_{0}, y_{0}\right)}=f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right) \cos \alpha+f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right) \cos \beta
$$
注意里面为偏导实际上就分解成了X Y轴上函数变化率。

其中, $\cos \alpha \text { 和 } \cos \beta$是向量$l$ 的方向余弦。

这里再说明一下方向导数和偏导数有什么区别呢？

偏导数实际上方向导数的特例，当向量取x的正轴的时候，此时方向导数就转变为了对于x的偏导数，推导如下：
$$
\left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_ {\left(x_{0}, y_{0}\right)} = \lim_ {t \rightarrow 0^{+}} \frac{f\left(x_{0}+t \cos \alpha, y _{0}\right)-f\left(x _{0}, y _{0}\right)}{t}
$$
如果你仔细看就会发现实际上这里的定义就是偏导数的定义，也就说是方向导数的一种情况。

其次再说明一下，这个式子的意义在哪里：
$$
\left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_ {\left(x_{0}, y_{0}\right)}=f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right) \cos \alpha+f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right) \cos \beta
$$
实际上，我们用来计算方向导数的时候就是使用这个式子，这个式子就是将对应的方向向量分解为x轴和y轴的方向余弦来进行计算，也就说方向向量实际上是由x轴和y轴的方向余弦构成的。

还有就是对于用同一个点，方向向量不同所构成的方向导数大小也不同，但是这些方向导数的方向始终会在一个平面内，这个平面就是这个点的切平面！

3、梯度：

梯度是方向导数的特例：
$$
\operatorname{gradf}(x, y) = \frac{\partial f}{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial f}{\partial y} \vec{j}
$$
已知在某个点有方向导数存在下列关系：
$$
\frac{\partial f}{\partial l} = \frac{\partial f}{\partial x} \cos \varphi + \frac{\partial f}{\partial y} \sin \varphi = \left\{\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right\} \cdot \{\cos \varphi, \sin \varphi\}
$$

在方向 L上满足如下单位向量：
$$
\overrightarrow{\boldsymbol{e}}=\cos \varphi \overrightarrow { \boldsymbol{i}}+\sin \varphi \overrightarrow{ \vec{j} }
$$
则方向导数可转化成如下：
$$
\frac{\partial f}{\partial l}= \begin{equation}\operatorname{gradf}(x, y)\end{equation} * \overrightarrow{\boldsymbol{e}}
$$
点积就相当于做一个投影，方向导数和梯度之间保持一定的夹角（做点积）来构成各个方向上的方向导数。什么时候方向向量最大呢？

很容易想到不存在夹角的时候就可以满足，因为此时点积最大即满足下列条件：
$$
\begin{equation}
\text { 只有当 } \cos (\operatorname{grad} f(x, y), \vec{e})=1 ， \frac{\partial f}{\partial l} \text { 才有最大值。 }
\end{equation}
$$
函数在某点的梯度是个向量，他的方向与方向导数最大值取值的方向一致，其大小正好是最大的方向导数。

梯度概念理解：如下图所示，在p点放一个热源的等温线，则热源的辐射从里到外为10°、20°、30°、40°，若一个小蚂蚁在o点，要最快逃离热源，应该往oj方向逃离，若往om方向逃离则热源的变化率为0，即一直都是20°，也就是说蚂蚁一旦确定了某个逃离方向(0°,90°）方向角逃离，只要一直沿着该方向一直走，就是最快的热源降低的方向

对于一维线性函数其导数就是梯度。

各种函数的梯度与导数的关系：

函数梯度

更详细的解释可以参考参考文献链接。

Tensor的梯度与反向传播

回顾机器学习

收集数据$x$ ，构建机器学习模型$f$，得到$f(x,w) = Y_{predict}$

如何判断模型的好坏？判断模型好坏的方法:
$$
\begin{array}{ll}
\operatorname{loss}=\left(Y_{p r e d i c t}-Y_{\text {true }}\right)^{2} & \text { (回归损失) } \
\operatorname{loss}=Y_{\text {true }} \cdot \log \left(Y_{\text {predict }}\right) & \text { (分类损失) }
\end{array}
$$
通过最终 $loss$ 的输出，来反向传播计算梯度大小进而调整参数的大小实现最优解。

当 $loss$ 满足如图时候

计算出来梯度以后：朝着梯度变化的方向运算，随机选择一个起始点$w_0$,通过调整$w_0$，让 $loss$ 函数取到最小值。

$w$的更新方法：

计算$w$的梯度（导数）

$$
\nabla w = \frac{f(w+0.000001)-f(w-0.000001)}{2*0.000001}
$$

更新$w$
$$
w = w - \alpha \nabla w
$$

其中：

$\nabla w <0 $ ,意味着w将增大
$\nabla w >0 $ ,意味着w将减小

总结：梯度就是多元函数参数的变化趋势（参数学习的方向），只有一个自变量时称为导数，拥有多个时称为偏导数。

反向传播？

计算图

为了方便描述，通过图的方式来描述函数。

$J(a,b,c) = 3(a+bc),令u=a+v,v = bc$,把它绘制成计算图可以表示为：

计算图

对每个节点求偏导可有：

计算梯度

反向传播的过程就是一个上图的从右往左的过程，自变量$a,b,c$各自的偏导就是连线上的梯度的乘积：
$$
\begin{align*}
\frac{dJ}{da} &= 3 \times 1 \
\frac{dJ}{db} &= 3 \times 1 \times c \
\frac{dJ}{dc} &= 3 \times 1 \times b
\end{align*}
$$

为什么要算反向传播？

因为要计算梯度。

实战演示：

接下来尝试计算一个简单结构的梯度，问题描述如下：

假设我们的基础模型就是y = wx+b，其中w和b均为参数，我们使用y = 3x+0.8来构造数据x、y，所以最后通过模型应该能够得出w和b应该分别接近3和0.8。

简单的来说就是拟合出满足y = 3x+0.8这个曲线。

步骤分为四步：

# 1 构造数据
# 2 设计正向传播 和 反向传播函数 来训练网络
# 3 训练
# 4 画图画出拟合出来的曲线

过程如下图：

从左向右是正向传播部分

从右向左是反向传播部分

对于W和B其计算类似这里单独说B即可

对于B的梯度满足下式，值得注意的是这里的Loos求取的是平均值实际上出来的是一个标量，对于标量的梯度计算实际上也是一个平均值（这里值得思考一下）。

$$
\frac{\partial Loss}{\partial B} = \sum_{i=0}^N 2*(y_i-y_{pi})/N
$$
反向传播后对B进行梯度下降：

$$
B = B - rate *\frac{\partial Loss}{\partial B}
$$
梯度下降以后再次进行正向传播即可，计算出来Y_p，最后计算出来Loss。

正向传播满足下式：
$$
Y_{predict (0…N)} =X_{predict (0…N)}* W + B
$$
代码如下：

import torch
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 1 构造数据
x_number = 50
x = torch.rand([x_number, 1])
y = 3 * x + 0.8
rate = 0.01
study_time = 3000

# 2 正向传播 和 反向传播
w = torch.rand([1, 1], requires_grad=True, dtype=torch.float32)
b = torch.rand(1, requires_grad=True, dtype=torch.float32)
y_preidct = torch.matmul(x, w) + b


def forward_propagation():
    global x, w, b, y_preidct
    y_preidct = torch.matmul(x, w) + b
    # 计算 loss
    loss = (y - y_preidct).pow(2).mean()
    return loss


def back_propagation():
    global x, w, b, loss, rate, y_preidct
    test = 0.0
    if w.grad is not None:
        w.grad.data.zero_()
    if b.grad is not None:
        b.grad.data.zero_()
    # 反向传播
    loss.backward()
    w.data -= w.grad * rate
    b.data -= b.grad * rate
    #此处为了验证b的梯度进行计算
    # for j in range(x_number):
    #   test += ((y[j] -y_preidct[j].item()) * 2) 
    # print("b:", b.grad)
    # print("b_t:", test/x_number)


# 3 训练部分
for i in range(study_time):
    loss = forward_propagation()
    back_propagation()
    if i % 10 == 0:
        print("w,b,loss", w.item(), b.item(), loss.item())

# 4 画图部分
predict = x * w + b  # 使用训练后的w和b计算预测值
plt.scatter(x.data, y.data, c="r")
plt.plot(x.data.numpy(), predict.data.numpy())
plt.show()

红色的是数据集结果蓝色是训练出来的结果：

当训练次数比较少的时候拟合曲线不正确：